При каком условии полезная мощность максимальна

Определение условий экономичного использования источника тока (Раздел дисциплины “Электричество и магнетизм”)

Страницы работы

Содержание работы

Лабораторная работа №10-Э

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСЛОВИЙ ЭКОНОМИЧНОГО

ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ИСТОЧНИКА ТОКА

Цель работы – экспериментальная проверка теоретических выводов о наиболее экономичном использовании энергии источника тока.

Теоретический анализ проблемы. Экономичное использование источника тока предусматривает создание таких условий, при которых будут достаточно высокими, с одной стороны – полезная мощность, а с другой стороны – коэффициент полезного действия. Теоретический расчёт показывает, что совместить эти два требования практически не возможно, а можно только обеспечить оптимальное соотношение для этих двух параметров.

Действительно, простой расчёт показывает, что мощность Р_а, выделяемая источником тока с ЭДС e во внешней цепи, то есть полезная мощность, будет максимальной, если сопротивление R внешней нагрузки равно внутреннему сопротивлению r источника тока:

Р_а = I 2 R = e 2 ; Р_а = Р_а max при =0 или при R = r.

Максимальное значение полезной мощности равно:

Р_а max = . (1)

Коэффициент полезного действия (КПД) по определению равен:

h = = = = , (2)

где Р = I 2 (R+r) – полная мощность, выделяемая источником тока.

При R=r КПД равен: h = 50%. Остальные 50% мощности выделяются внутри источника тока, что приводит к большим потерям энергии на бесполезный разогрев источника тока, перегреву его внутренних частей и выходу источника тока из строя. Понятно, что повышения КПД источников тока является важнейшим требованием при эксплуатации силовых электрических установок.

Чем меньше внутреннее сопротивление источника тока, тем выше его КПД. Таким образом, при R > r полезная мощность по абсолютному значению хотя и уменьшается, но её доля в полной мощности, выделяемой источником тока, возрастает, что экономически оказывается более выгодным.

Однако, повышение КПД ограничивается тем, что, например, уже при R=5r и h = 83%, полезная мощность составляет всего 55% от максимально возможного значения (при R=r). А в пределе при R ® ¥, хотя КПД h ® 1, что очень выгодно, но вся мощность при этом выделяется внутри источника тока, а полезная мощность Р_а ® 0, что, естественно, не допустимо.

Таким образом, в каждой конкретной задаче по расчёту параметров электротехнических установок вопрос об оптимальном значении сопротивления полезной нагрузки решается с учётом того, что является приоритетным – повышение КПД установки или увеличение её полезной мощности.

Описание методики эксперимента.

В лабораторной работе экспериментально определяется зависимость полезной мощности и КПД источника тока от величины сопротивления внешней нагрузки: Р_а(R) h(R).

Физика

Полная мощность источника тока:

где P _полезн — полезная мощность, P _полезн = I 2 R ; P _потерь — мощность потерь, P _потерь = I 2 r ; I — сила тока в цепи; R — сопротивление нагрузки (внешней цепи); r — внутреннее сопротивление источника тока.

Полная мощность может быть рассчитана по одной из трех формул:

P _полн = I 2 ( R + r ), P полн = ℰ 2 R + r , P _полн = I ℰ,

где ℰ — электродвижущая сила (ЭДС) источника тока.

Полезная мощность — это мощность, которая выделяется во внешней цепи, т.е. на нагрузке (резисторе), и может быть использована для каких-то целей.

Полезная мощность может быть рассчитана по одной из трех формул:

P _полезн = I 2 R , P полезн = U 2 R , P _полезн = IU ,

где I — сила тока в цепи; U — напряжение на клеммах (зажимах) источника тока; R — сопротивление нагрузки (внешней цепи).

Мощность потерь — это мощность, которая выделяется в источнике тока, т.е. во внутренней цепи, и расходуется на процессы, имеющие место в самом источнике; для каких-то других целей мощность потерь не может быть использована.

Мощность потерь, как правило, рассчитывается по формуле

P _потерь = I 2 r ,

где I — сила тока в цепи; r — внутреннее сопротивление источника тока.

При коротком замыкании полезная мощность обращается в нуль

так как сопротивление нагрузки в случае короткого замыкания отсутствует: R = 0.

Полная мощность при коротком замыкании источника совпадает с мощностью потерь и вычисляется по формуле

где ℰ — электродвижущая сила (ЭДС) источника тока; r — внутреннее сопротивление источника тока.

Полезная мощность имеет максимальное значение в случае, когда сопротивление нагрузки R равно внутреннему сопротивлению r источника тока:

Максимальное значение полезной мощности:

P полезн max = 0,5 P полн ,

где P _полн — полная мощность источника тока; P полн = ℰ 2 / 2 r .

В явном виде формула для расчета максимальной полезной мощности выглядит следующим образом:

P полезн max = ℰ 2 4 r .

Для упрощения расчетов полезно помнить два момента:

• если при двух сопротивлениях нагрузки R ₁ и R ₂ в цепи выделяется одинаковая полезная мощность, то внутреннее сопротивление источника тока r связано с указанными сопротивлениями формулой

• если в цепи выделяется максимальная полезная мощность, то сила тока I * в цепи в два раза меньше силы тока короткого замыкания i :

Пример 15. При замыкании на сопротивление 5,0 Ом батарея элементов дает ток силой 2,0 А. Ток короткого замыкания батареи равен 12 А. Рассчитать наибольшую полезную мощность батареи.

Решение . Проанализируем условие задачи.

1. При подключении батареи к сопротивлению R ₁ = 5,0 Ом в цепи течет ток силой I ₁ = 2,0 А, как показано на рис. а , определяемый законом Ома для полной цепи:

где ℰ — ЭДС источника тока; r — внутреннее сопротивление источника тока.

2. При замыкании батареи накоротко в цепи течет ток короткого замыкания, как показано на рис. б . Сила тока короткого замыкания определяется формулой

где i — сила тока короткого замыкания, i = 12 А.

3. При подключении батареи к сопротивлению R ₂ = r в цепи течет ток силой I ₂, как показано на рис. в , определяемый законом Ома для полной цепи:

I 2 = ℰ R 2 + r = ℰ 2 r ;

в этом случае в цепи выделяется максимальная полезная мощность:

P полезн max = I 2 2 R 2 = I 2 2 r .

Таким образом, для расчета максимальной полезной мощности необходимо определить внутреннее сопротивление источника тока r и силу тока I ₂.

Для того чтобы найти силу тока I ₂, запишем систему уравнений:

i = ℰ r , I 2 = ℰ 2 r >

и выполним деление уравнений:

I 2 = i 2 = 12 2 = 6,0 А.

Для того чтобы найти внутреннее сопротивление источника r , запишем систему уравнений:

I 1 = ℰ R 1 + r , i = ℰ r >

и выполним деление уравнений:

I 1 i = r R 1 + r .

r = I 1 R 1 i − I 1 = 2,0 ⋅ 5,0 12 − 2,0 = 1,0 Ом.

Рассчитаем максимальную полезную мощность:

P полезн max = I 2 2 r = 6,0 2 ⋅ 1,0 = 36 Вт.

Таким образом, максимальная полезная мощность батареи составляет 36 Вт.

Формула полезной мощности

Определение и формула полезной мощности

Мощность – это физическая величина, которую использует как основную характеристику любого устройства, которое применяют для совершения работы. Полезная мощность может быть использована для выполнения поставленной задачи.

Отношение работы ($Delta A$) к промежутку времени за которое она выполнена ($Delta t$) называют средней мощностью ($leftlangle Prightrangle $) за это время:

[leftlangle Prightrangle =fracleft(1right).]

Мгновенной мощностью или чаще просто мощностью называют предел отношения (1) при $Delta tto 0$:

Приняв во внимание, что:

[Delta A=overlinecdot Delta overlineleft(3right),]

где $Delta overline$ – перемещение тела под действием силы $overline$, в выражении (2) имеем:

где $ overline-$ мгновенная скорость.

Коэффициент полезного действия

При выполнении необходимой (полезной) работы, например, механической, приходится выполнять работу большую по величине, так как в реальности существуют силы сопротивления и часть энергии подвержена диссипации (рассеиванию). Эффективность совершения работы определяется при помощи коэффициента полезного действия ($eta $), при этом:

где $P_p$ – полезная мощность; $P$ – затраченная мощность. Из выражения (5) следует, что полезная мощность может быть найдена как:

[P_p=eta P left(6right).]

Формула полезной мощности источника тока

Пусть электрическая цепь состоит из источника тока, имеющего сопротивление $r$ и нагрузки (сопротивление $R$). Мощность источника найдем как:

где $?$ – ЭДС источника тока; $I$ – сила тока. При этом $P$ – полная мощность цепи.

Обозначим $U$ – напряжение на внешнем участке цепи, тогда формулу (7) представим в виде:

где $P_p=UI=I^2R=frac(9)$ – полезная мощность; $P_0=I^2r$ – мощность потерь. При этом КПД источника определяют как:

Максимальную полезную мощность (мощность на нагрузке) электрический ток дает, если внешнее сопротивление цепи будет равно внутреннему сопротивлению источника тока. При этом условии полезная мощность равна 50% общей мощности.

При коротком замыкании (когда $Rto 0;;Uto 0$) или в режиме холостого хода $(Rto infty ;;Ito 0$) полезная мощность равна нулю.

Примеры задач с решением

Задание. Коэффициент полезного действия электрического двигателя равен $eta $ =42%. Какой будет его полезная мощность, если при напряжении $U=$110 В через двигатель идет ток силой $I=$10 А?

Решение. За основу решения задачи примем формулу:

[P_p=eta P left(1.1right).]

Полную мощность найдем, используя выражение:

Подставляя правую часть выражения (1.2) в (1.1) находим, что:

Вычислим искомую мощность:

[P_p=eta IU=0,42cdot 110cdot 10=462 left(Втright).]

Ответ. $P_p=462$ Вт

Задание. Какова максимальная полезная мощность источника тока, если ток короткого замыкания его равен $I_k$? При соединении с источником тока сопротивления $R$, по цепи (рис.1) идет ток силой $I$.

Решение. По закону Ома для цепи с источником тока мы имеем:

где $varepsilon$ – ЭДС источника тока; $r$ – его внутреннее сопротивление.

При коротком замыкании считаем, что сопротивление внешней нагрузки равно нулю ($R=0$), тогда сила тока короткого замыкания равна:

Максимальная полезная мощность в цепи рис.1 электрический ток даст, при условии:

Тогда сила тока в цепи равна:

Максимальную полезную мощность найдем, используя формулу:

Мы получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными:

Используя первое и второе уравнения системы (2.6) найдем $I’$:

Используем уравнения (2.1) и (2.2) выразим внутреннее сопротивление источника тока:

[varepsilon=Ileft(R+rright);; I_kr=varepsilon to Ileft(R+rright)=I_krto rleft(I_k+Iright)=IRto r=fracleft(2.8right).]

Подставим результаты из (2.7) и (2.8) в третью формулу системы (2.6), искомая мощность будет равна:

Источники:

https://vunivere.ru/work5817
https://vedy.by/Vedy/Home/PartitionView/16959
https://www.webmath.ru/poleznoe/fizika/fizika_138_formula_poleznoj_moshhnosti.php